互质与概率、20多年前手稿及其他-数学与思维
一篇旧文
20多年了，那位曾教过我一道题，未曾谋面的老先生还好吗？
查个资料，偶尔在台湾出版的数学大辞典中找到了一纸手稿。
这是20多年前一位老先生为教我做一道题而写的，这位老先生与我未曾谋面。
20多年前，我在西区一个子弟学校教数学（那个学校已经不在了），被当时西区教研室的曾唯一先生看中白景琦原型，找我去上奥数班的课吉成俊。当时西区的奥数班是统一调配老师的，一个班有几个老师，每个人讲几节，到不同的地方去讲。
有一次，我去湖南师范大学附属小学上课，发现一个学生的草稿纸上写了很多概率论的内容，我吃惊的问他：这是你写的舒阅网？！他告诉我说，不是他写的，是他爷爷写的。他爷爷退休前是师大数学系的老师。
我当时非常激动。那时候我正读概率论超合金曲，记得读的是复旦大学的教材，有一个习题：证明可牛看图，任取两个正整数，则它们互质的概率为圆周率的平方分之六。这个问题完全超越了我当时的能力迈克吴，甚至超越了我当时的想像力柯南之白枫。20年前没有网络，自己手上的图书资料也不多。碰到问题就只能自己想，实在想不出就只能作罢。这个题，就只能作罢。碰到了这样的高人，肯定请教一番。于是，我跟那个学生说青藤茶馆，张老师有个问题，想请教你爷爷，可以吗？小家伙说，没问题，张老师，我爷爷在家没事做的，待会就去。
我还是不敢太冒昧樊少华，当时也没办法先联系，我就写了张条，让学生带回去。
一个星期之后，又是奥数课，那个学生把这张纸交给了我。
老实说，当时，我看了半天，其他都懂了，就是不知道最后那个等式，左边为什么会等于右边。也没敢问。
当年，还有一位朋友对我说，康定到木格措你应该去见那位老先生的，我终于还是没去。
20多年了，那位老先生还好吗？
这篇文章发出后，有位读者留言：
昨天发了一篇文章《圆周率与互质数也有关系吗？》，文章末说了今天试着尽可能通俗的写一写。
一个结论
当|ｘ|<1时，有
证明如下（不是十分严谨）：
显然，这个结论也可以写成：
结论应用
注意手稿中的式子：
我们将上述结论应用于这个式子左边的每一项。比如，对第一项：
有：
此即将上述结论中的x换成
类似的，可以得到：
将上面诸式相乘，得：
现在要将上面的分母算出来，这需要一点点想象力。
上面的分母部分吴宗敏，是无限多个因式相乘，每个因式又有无限多项。计算方法与多项式相乘的法则类似：一个因式中的每一项，乘另一个因式中的每一项。
为此，我们来看一个简单的多项式相乘的结果：
不难发现，多项式乘法，其实就是在每个因式中选一项相乘，把所有可能的选法对应的积加起来。
对于上述无穷多项相乘，也是一样天下第一媒婆，每项中选一个数，所有的选法对应的积相加。
我们来想象一下，下面的式子乘起来，会是什么结果：
首先，结果中应该有1，事实上，从每个因式中选出第一项1，乘积就是1。
其次，结果中应该有1/2^2,(这个式子表示2的平方分之一,以下类似)海马歌舞厅，事实上，只需从第一个因式中选出第二项1/2^2黄奕住，其他各因式中选出第一项1，乘积就是1/2^2
第三，结果中应该有1/3^2,事实上，只要在第二个因式中选出第二项1/3^2,其他各因式中选第一项1即可。
第四，结果中有1/4^2，只要在第一个因式中选第三项，其他都选第一项就行。
同样，结果中有1/5^2
还有1/6^2,只要在第一个因式和第二个因式中分别取第二项，其他取第一项就行。
看出来了吗？每个自然数的平方的倒数都在结果中。
考虑一下分解质因数的结果！
比如，结果中一定有1/60^2,由60=2*2*3*5，我们只要在第一个因式中取第二项，第二个因式中取第三项，第三个因式中取第一项，结果就是。
于是有如下结果：
即所有自然数的平方的倒数之和的倒数。
这个结果又是多少呢？
关键是所有自然数平方的倒数之和是多少蹇先任！
最后求助欧拉
伟大的欧拉天才的运用类比的方法，求出了所有自然数平方的倒数之和，这个结果为：
要论证这个结果，又要许多篇幅，
吕帅希可以参看波利亚《数学与猜想》第一卷第二章“一般化、特殊化、类比”古少明。
于是包海青，上述结果就应该是：
