康定到木格措互质与概率、20多年前手稿及其他-数学与思维

作者:admin , 分类:全部文章 , 浏览:91
互质与概率、20多年前手稿及其他-数学与思维

一篇旧文
20多年了,那位曾教过我一道题,未曾谋面的老先生还好吗?

查个资料,偶尔在台湾出版的数学大辞典中找到了一纸手稿。

这是20多年前一位老先生为教我做一道题而写的,这位老先生与我未曾谋面。
20多年前,我在西区一个子弟学校教数学(那个学校已经不在了),被当时西区教研室的曾唯一先生看中白景琦原型,找我去上奥数班的课吉成俊。当时西区的奥数班是统一调配老师的,一个班有几个老师,每个人讲几节,到不同的地方去讲。
有一次,我去湖南师范大学附属小学上课,发现一个学生的草稿纸上写了很多概率论的内容,我吃惊的问他:这是你写的舒阅网?!他告诉我说,不是他写的,是他爷爷写的。他爷爷退休前是师大数学系的老师。
我当时非常激动。那时候我正读概率论超合金曲,记得读的是复旦大学的教材,有一个习题:证明可牛看图,任取两个正整数,则它们互质的概率为圆周率的平方分之六。这个问题完全超越了我当时的能力迈克吴,甚至超越了我当时的想像力柯南之白枫。20年前没有网络,自己手上的图书资料也不多。碰到问题就只能自己想,实在想不出就只能作罢。这个题,就只能作罢。碰到了这样的高人,肯定请教一番。于是,我跟那个学生说青藤茶馆,张老师有个问题,想请教你爷爷,可以吗?小家伙说,没问题,张老师,我爷爷在家没事做的,待会就去。
我还是不敢太冒昧樊少华,当时也没办法先联系,我就写了张条,让学生带回去。
一个星期之后,又是奥数课,那个学生把这张纸交给了我。
老实说,当时,我看了半天,其他都懂了,就是不知道最后那个等式,左边为什么会等于右边。也没敢问。
当年,还有一位朋友对我说,康定到木格措你应该去见那位老先生的,我终于还是没去。
20多年了,那位老先生还好吗?
这篇文章发出后,有位读者留言:

昨天发了一篇文章《圆周率与互质数也有关系吗?》,文章末说了今天试着尽可能通俗的写一写。
一个结论
当|x|<1时,有

证明如下(不是十分严谨):

显然,这个结论也可以写成:

结论应用
注意手稿中的式子:

我们将上述结论应用于这个式子左边的每一项。比如,对第一项:

有:

此即将上述结论中的x换成
类似的,可以得到:

将上面诸式相乘,得:

现在要将上面的分母算出来,这需要一点点想象力。
上面的分母部分吴宗敏,是无限多个因式相乘,每个因式又有无限多项。计算方法与多项式相乘的法则类似:一个因式中的每一项,乘另一个因式中的每一项。
为此,我们来看一个简单的多项式相乘的结果:

不难发现,多项式乘法,其实就是在每个因式中选一项相乘,把所有可能的选法对应的积加起来。
对于上述无穷多项相乘,也是一样天下第一媒婆,每项中选一个数,所有的选法对应的积相加。
我们来想象一下,下面的式子乘起来,会是什么结果:

首先,结果中应该有1,事实上,从每个因式中选出第一项1,乘积就是1。
其次,结果中应该有1/2^2,(这个式子表示2的平方分之一,以下类似)海马歌舞厅,事实上,只需从第一个因式中选出第二项1/2^2黄奕住,其他各因式中选出第一项1,乘积就是1/2^2
第三,结果中应该有1/3^2,事实上,只要在第二个因式中选出第二项1/3^2,其他各因式中选第一项1即可。
第四,结果中有1/4^2,只要在第一个因式中选第三项,其他都选第一项就行。
同样,结果中有1/5^2
还有1/6^2,只要在第一个因式和第二个因式中分别取第二项,其他取第一项就行。
看出来了吗?每个自然数的平方的倒数都在结果中。
考虑一下分解质因数的结果!
比如,结果中一定有1/60^2,由60=2*2*3*5,我们只要在第一个因式中取第二项,第二个因式中取第三项,第三个因式中取第一项,结果就是。
于是有如下结果:

即所有自然数的平方的倒数之和的倒数。
这个结果又是多少呢?
关键是所有自然数平方的倒数之和是多少蹇先任!
最后求助欧拉
伟大的欧拉天才的运用类比的方法,求出了所有自然数平方的倒数之和,这个结果为:

要论证这个结果,又要许多篇幅,吕帅希可以参看波利亚《数学与猜想》第一卷第二章“一般化、特殊化、类比”古少明。
于是包海青,上述结果就应该是:
文章归档